De Moivre's formula

Dalam matematika, de Moivre's formula, dinamai Abraham de Moivre, menyatakan bahwa untuk setiap bilangan kompleks (dan, khususnya, untuk setiap bilangan riil) x dan bilangan bulat n itu menyatakan bahwa

  

Rumusnya adalah penting karena menghubungkan bilangan kompleks (i melambangkan satuan imajiner) dan trigonometri. Ungkapan "cos x + i sin x" kadang-kadang disingkat menjadi "cis x".

Dengan memperluas sisi kiri dan kemudian membandingkan yang nyata dan imajiner bagian bawah asumsi bahwa x adalah nyata, itu adalah mungkin untuk mendapatkan ekspresi berguna bagi cos (nx) dan dosa (nx) dalam hal cos (x) dan dosa (x ). Lebih jauh lagi, orang dapat menggunakan generalisasi dari rumus ini untuk menemukan ekspresi eksplisit untuk n-th akar persatuan, yaitu bilangan kompleks z z sedemikian sehingga n = 1

Derivation

Meskipun sebelumnya terbukti secara historis, de Moivre's formula dapat dengan mudah diperoleh dari Rumus Euler

 dan hukum eksponensial untuk integer kekuatan

 Kemudian, dengan rumus Euler,

  

 

 

Kegagalan untuk non-integer kekuasaan 

De Moivre's formula pada umumnya tidak berlaku untuk non-integer kekuasaan. Non-integer kekuatan nomor yang kompleks dapat memiliki banyak nilai yang berbeda, lihat kegagalan kekuasaan dan logaritma identitas. Namun ada generalisasi bahwa ekspresi sisi kanan adalah salah satu nilai mungkin kekuasaan.

Derivasi dari de Moivre's formula di atas melibatkan kompleks kekuasaan angka ke n. Ketika kekuasaan bukan integer, hasilnya adalah beberapa bernilai, misalnya, jika n = ½ maka:
Untuk x = 0 rumus memberikan 1 ½ = 1
Untuk x = 2 π rumus memberikan 1 ½ = -1

Karena sudut 0 dan 2π adalah sama dua ini akan memberikan nilai yang berbeda untuk ekspresi yang sama. Nilai-nilai 1 dan -1 Namun kedua adalah akar kuadrat dari 1 sebagai generalisasi menegaskan.

Tidak ada masalah seperti terjadi dengan Rumus Euler karena tidak ada identifikasi nilai-nilai yang berbeda dari eksponen. Rumus Euler melibatkan kekuatan kompleks bilangan real positif dan ini selalu memiliki nilai lebih disukai. Ekspresi yang sesuai:
e i 0 = 1
e iπ = -1
 

Bukti dengan induksi (untuk integer n)

Untuk n> 0, kita melanjutkan dengan induksi matematika. Jika n = 1, hasilnya adalah jelas benar. Hipotesis kami, kami menganggap hasilnya adalah benar untuk beberapa bilangan bulat positif k. Artinya, kita asumsikan

 Sekarang, mengingat kasus n = k + 1:

 

 

Kami menyimpulkan bahwa hasil itu benar untuk n = k + 1 saat itu benar untuk n = k. Dengan prinsip induksi matematika maka hasilnya adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 1.

Jika n = 0 rumus ini benar sejak cos (0 x) + i sin (0 x) = 1 + i 0 = 1.

Jika n <0, kami mempertimbangkan bilangan bulat positif m sedemikian sehingga n = - m. Sehingga
 

 leh karena itu, teorema adalah benar untuk semua bilangan bulat n nilai.

 

 

Rumus untuk kosinus dan sinus individual  

Menjadi persamaan bilangan kompleks, orang perlu memiliki kesamaan baik dari bagian riil dan dari bagian imajiner dari kedua anggota persamaan. Jika x, dan oleh karena itu juga cos x dan sin x, adalah bilangan real, maka identitas bagian-bagian ini dapat ditulis (interchanging sisi) sebagai

 

 

Persamaan ini bahkan sebenarnya berlaku untuk nilai-nilai yang kompleks dari x, karena kedua belah pihak seluruh (yaitu, holomorphic pada seluruh bidang kompleks) fungsi dari x, dan dua fungsi seperti yang bertepatan pada sumbu nyata harus bertepatan di mana-mana. Berikut adalah contoh-contoh konkret persamaan ini untuk n = 2 dan n = 3:

 

 

 Sisi sebelah kanan dari rumus untuk cos (nx) sebenarnya nilai T n (cos x) dari polinomial Chebyshev T n pada cos x.

 

Generalisasi 

Rumus sebenarnya benar dalam pengaturan yang lebih umum daripada yang dinyatakan di atas: jika z dan w adalah bilangan kompleks, maka

  

  adalah fungsi bernilai multi sementara

 tidak. Oleh karena itu kita dapat menyatakan bahwa

 

 

Aplikasi 

Formula ini dapat digunakan untuk menemukan akar ke-n dari bilangan kompleks. Aplikasi ini tidak secara tegas menggunakan de Moivre's formula sebagai kekuatan bukan integer. Namun mengingat sisi kanan n kekuatan dalam setiap kasus akan memberikan nilai yang sama sisi kiri.

Jika z adalah bilangan kompleks, ditulis dalam bentuk polar

 

  

 kemudian

 di mana k adalah integer, untuk mendapatkan akar n dari z berbeda satu hanya perlu mempertimbangkan nilai-nilai k dari 0 sampai n - 1.

10 Ilmuwan Tidak Terkenal Yang Mengubah Dunia

Banyak kita kenal penemu-penemu atau ilmuwan beserta penemuan2nya yang fenomenal, sebut saja Alexander Graham Bell dengan teleponnya, James Watt dengan mesin uapnya, atau Albert Einstein dengan teori relativitasnya.

Tapi apakah anda kenal sama ilmuwan-ilmuwan di bawah ini, walaupun mereka kurang terkenal namun kontribusinya sangat berperan dalam mengubah dunia. 

urutin dari 10 - 1 yang paling berpengaruh mengubah dunia:

10. IBNU AL-HAYTHAM (965-1039 M)

Lahir di Basra, Al-Haytham adalah seorang pemikir terkemuka pada zamannya. Dia membuat sumbangan berharga dalam bidang matematika, anatomi, astronomi, teknik, kedokteran, filsafat, dan fisika. Ia juga memperkenalkan metodologi ilmiah eksperimen dan observasi. Karyanya yg penting adalah pada tulisan mengenai optik, The Book of Optics dianggap sebagai yang berpengaruh untuk sebuah revolusi dalam studi optik dan persepsi visual. buku tersebut adalah deskripsi pertama dari kamera obscura (kamar gelap), dan ia juga meletakkan dasar-dasar bagi perkembangan mikroskop, teleskop dan menetapkan prinsip-prinsip optik seni Renaisans. Mikroskop secara khusus memiliki implikasi yang besar untuk obat-obatan dan mikrobiologi, maupun kimia di dunia modern.

9. Tim Berners-Lee (1955-sekarang)

  

Jika bukan karena Tim Berners-Lee, Anda tidak akan dapat membaca artikel ini. Dia adalah orang yang berperan memperkenalkan World Wide Web, yang dikembangkan sebagai utilitas komunikasi pada saat bekerja di CERN, European Particle Physics Laboratory. Hebatnya, ia menolak paten penemuannya, ia memberikannya sebagai hadiah kepada dunia sebagai gantinya. Internet telah merevolusi cara orang berkomunikasi dengan kemampuannya untuk memperoleh informasi,kecepatan dan efisiensi sejalan perdagangan global yang beroperasi. Penemuannya adalah sesuatu yang benar-benar revolusioner dalam dunia komunikasi, dengan potensi untuk melebihi penemuan Marconi dan Alexander Graham Bell

8. No.8 - Ibnu Sina (980-1037 M)

Salah satu yang paling berpengaruh dari semua ilmuwan Islam adalah Ibnu Sina, seperti keanyakan rekan2nya, dia bekerja pada banyak aspek ilmu termasuk kedokteran, matematika, logika, dan geologi. Dia menulis hampir 450 teks bacaan pada berbagai subyek, dua yang paling terkenal adalah The Canon of Medicine dan The Book of Healing. buku2 Ini digunakan sebagai buku standar pelajaran universitas di Eropa selama ratusan tahun. Namun, pengaruhnya meluas lebih jauh lagi, karena ia juga dianggap berperan untuk pengenalan karantina untuk menghindari penyebaran infeksi, juga memperkenalkan uji klinis dan eksperimen sistematis .

7. Thomas Midgley (1889-1944)

Thomas Midgley adalah orang yang telah membuat kontribusi besar untuk dunia modern. Sayangnya, kontribusinya bukan yang positif. Pertama, Midgley menemukan adiktif yang dapat membuat bensin menghentikan efek "mengetuk" pada mesin mobil. Namun, hal ini juga menimbulkan masalah kesehatan secara global. Selanjutnya, ia adalah orang yang berperan dalam pengembangan CFC, salah satu senyawa yang paling merusak di atmosfer kita saat ini, dan kontributor utama pemanasan global. Telah diakui bahwa Midgley "memiliki dampak yang lebih besar pada atmosfer dari pada organisme lain apapun dalam sejarah." sangat menyedihkan untuk dirinya, tapi bagaimanapun juga berguna bagi umat manusia. Ia terjangkit polio yang membuatnya tidak bisa beranjak dari tempay tidurnya dan lalu setelah merancang sistem katrol yang rumit untuk membantunya bangun dari tempat tidur, ia tidak sengaja tersangkut di tali dan mencekik dirinya sendiri.

6. Fritz Haber (1868-1934)

Fritz Haber adalah seorang kimiawan Jerman yang bekerja membuka tabir baik keajaiban dan keganasan dari sebuah science yang tidak terungkap. Haber mencatatkan namanya pada industri sintesis amonia, komponen penting pupuk dalam pertanian modern. Hal ini telah membantu dalam produksi pangan intensif yang telah menjadi ciri dunia modern, dan pada gilirannya memungkinkan pertumbuhan penduduk yang besar dari abad ke-20. Ia sangat terlibat dalam pengembangan senjata kimia seperti gas klorin untuk Jerman di Perang Dunia I, dan ia diberi julukan oleh beberapa orang sebagai bapak dari perang kimia. Karya Haber membantu pengembangan gas sianida, yang digunakan oleh Nazi untuk melakukan beberapa kekejaman terburuk dalam sejarah manusia.

5. Leó Szilárd (1898-1964)

Mungkin salah satu kolaborator yang kurang dikenal di Proyek Manhattan , adalah Szilárd yang berperan pada gagasan reaksi berantai nuklir, proses yang membuat bom atom untuk dikembangkan. Dia juga orang yang memprakarsai Proyek Manhattan, yaitu dengan menulis kepada Presiden Roosevelt untuk mendesaknya mengembangkan senjata-senjata ini, karena ia percaya orang Jerman meneliti sesuatu yang serupa. walaupun ia merasa jijik pada penggunaan kekerasan, namun Szilárd telah berkontribusi pada awal perkembangan abad nuklir, dan telah mengubah dunia secara dramatis.

4. James Clerk Maxwell (1831-1879)

Diakui oleh beberapa orang sebagai bapak fisika modern, James Clerk Maxwell adalah tokoh yang sangat berpengaruh di bidang listrik, termodinamika, fotografi, energi nuklir, dan lain-lain. Penemuan spektrum elektromagnetik yang berpengaruh terhadap pengembangan televisi, radio, gelombang mikro, serta membantu dalam pengembangan teleskop radio dan inframerah. Persamaan pada medan elektromagnetiknya sangat penting bagi teori relativitas khusus, oleh Albert Einstein. Ia juga menghasilkan foto berwarna pertama , gambar pita tartan. Karyanya benar-benar menandai keberangkatan dari karya ilmuwan besar lainnya yaitu Isaac Newton, dan membantu untuk menginformasikan ilmu di balik banyak perkembangan teknologi besar dari zaman modern.

3. Karl Landsteiner (1868-1943)

Dokter Austria yang melalui pelatihan, Landsteiner memainkan peran integral dalam identifikasi golongan darah. Dia mendemonstrasikan efek bencana yang terjadi jika salah transfusi tipe darah, serta menunjukkan sifat turun-temurun dari jenis darah, yang sejak itu telah digunakan sebagai metode untuk menunjukkan keturunan. Dia juga ikut berperan atas identifikasi virus polio, dan membuat banyak sumbangan imunologi, histologi dan anatomi. Walaupun warisan-Nya yang terbesar, adalah dalam memahami golongan darah yang berbeda untuk transfusi darah, namun demikian sangat berperan penting dalam meningkatkan tingkat ketahanan hidup di operasi.

2. John Bardeen (1908-1991)

Seorang fisikawan insinyur listrik dari Amerika Serikat, John Bardeen adalah salah satu dari sedikit orang yang memenangkan dua hadiah Nobel. Pada tahun 1956, dengan dua rekannya, ia mengembangkan transistor listrik, suatu perkembangan yang telah memfasilitasi pengembangan setiap perangkat elektronik yang digunakan dalam dunia modern. penemuannya pada tahun 1972 yaitu superkonduktivitas telah memungkinkan penggunaan CAT dan MRI scan di kedokteran. Walaupun memiliki terobosan revolusioner ini, Bardeen hampir tidak dikenal di luar komunitas ilmiah. Walaupun begitu warisannya, telah mengubah dunia di luar perkiraannya.

1. Joseph Lister (1827-1912)

Ketika bekerja sebagai dokter bedah di Glasgow Royal Infirmary, Lister mencoba untuk memecahkan masalah infeksi pada luka, yang menewaskan 45% -50% dari semua kasus amputasi. Setelah mempelajari beberapa karya Louis Pasteur, dan membaca koran tentang penggunaan asam karbol dalam pengolahan limbah, Lister mulai mengobati pasien luka-luka dengan asam karbol. Dia memaksa dokter bedah untuk mencuci tangan sebelum dan setelah pengobatan dengan larutan asam karbol, serta peralatan bedah sampai bersih dengan larutan itu, yang dengan demikian mewujudkan revolusi dalam kehigienisan rumah sakit. Dianggap sebagai bapak obat antiseptik, Penemuan Lister sudah menyelamatkan hidup yang tak terhitung jumlahnya di seluruh dunia, dan merupakan salah satu terobosan terbesar dalam sejarah medis.

Semoga kita bisa bermanfaat dan dapat memajukan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi seperti merka, sekaranglah saatnya untuk kita berfikir. mau menjadi orang yang bermanfaat, atau hanya orang yang memanfaatkan..... next is you

semoga dapat bermanfaat....